Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長是    ．

Answer 1

【考點】切線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．

【專題】

【分析】首先取AC的中點O，過點O作MN∥EF，PQ∥EH，　　由題意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分別是各半圓的半徑，OL，OK是△ABC的中位線，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得個線段長，繼而求得答案．

【解答】解：取AC的中點O，過點O作MN∥EF，PQ∥EH，

∵四邊形EFGH是矩形，

∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，

∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，

∵AB∥EF，BC∥FG，

∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，

∴AL=BL，BK=CK，

∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，

∵矩形EFGH的各邊分別與半圓相切，

∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4，

在Rt△ABC中，，

∴OM=OQ=AC=5，

∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，

∴矩形EFGH的周長是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．

故答案為：48．

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．