Question

已知：直線y=x+6交x軸于A點，交y軸于C兩點，經(jīng)過A和原點O的拋物線y==ax²+bx(a＜0）的頂點B在直線AC上。

（1）求點A、C、B的坐標

（2）求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）以B點為圓心，以AB為半徑作⊙B，將⊙B沿x軸翻折得到⊙D，試判斷直線AC與⊙D的位置關(guān)系，并求出BD的長；

（4）若E為⊙B優(yōu)弧上一動點,連結(jié)AE、OE，問在拋物線上是否存在一點M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，試求出點M的坐標；若不存在，試說明理由

 

 

 

Answer 1

【答案】

∵A（-6，0），C（0，6）

∴拋物線的對稱軸是直線x=3，又B在AC上

∴拋物線的頂點是  B（-3，3）

   （2）∴設(shè)又過A（-6，0）     

  把A（-6，0）代入上式得

         

        即        

（2）∵⊙D與⊙O關(guān)于X軸對稱

∴D（-3，-3）

∴BD=6

∵AD=，AB=

∴

∴∠BAD=

     ∴AC是⊙D的切線

（3）∵∠

∠AEO=

假設(shè)在拋物線上存在一點M（x，y），使得∠MOA：∠AEO=2：3

則∠MOA=30^0，    則M必在直線上

         得      

                              

               

        

           

   

 

 

∴存在這樣的M，M的坐標有兩個：

M    

或      

【解析】（1）根據(jù)過A、C兩點的直線的解析式即可求出A，C的坐標．

（2）根據(jù)A，O的坐標即可得出拋物線的對稱軸的解析式，然后將A點坐標代入拋物線中，聯(lián)立上述兩式即可求出拋物線的解析式．

（3）直線與圓的位置關(guān)系無非是相切與否，可連接AD，證AD是否與AC垂直即可．由于B，D關(guān)于x軸對稱，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC與圓D相切．

（4）根據(jù)圓周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M點的縱坐標的絕對值和橫坐標的絕對值的比為tan30°，由此可得出x，y的比例關(guān)系式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出M點的坐標．（要注意的是本題要分點M在x軸上方還是下方兩種情況進行求解）