Question

如圖①，已知點(diǎn)D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M為EC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形．
（思路點(diǎn)撥：考慮M為EC的中點(diǎn)的作用，可以延長DM交BC于N，構(gòu)造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以證明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底邊的中線就可以了．）請你完成證明過程：
（2）將△ADE繞點(diǎn)A再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)（如圖②所示位置），△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長DM交BC于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出∠DEM=∠MCB，根據(jù)ASA推出△EMD≌△CMN，證出CN=AD即可；
（2）作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NCM，根據(jù)ASA證△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△BMD為等腰直角三角形．
解答：（1）證明：延長DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中
，
∴△EMD≌△CMN，
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．

（2）解：△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論仍成立，
證明：作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
在△DBA和△NBC中
，
∴△DBA≌△NBC，
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．
點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運(yùn)用，題型較好，難度適中．