Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB：分別交x、y軸于點A、B，線段OA上的一動點C以每秒1個單位的速度由O向點A運動，線段BA上的一動點D同時以每秒個單位的速度由B向A運動．
（1）在運動過程中△ADC與△ABO是否相似？試說明你的理由；
（2）問當(dāng)運動時間t為多少秒時，以CD為直徑的圓與y軸相切？
（3）在運動過程中是否存在某一時刻，使得△OCD與△ACD相似？若存在，求出運動時間；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）在運動過程中△ADC與△ABO相似．理由如下：
對于y=-x+4，令x=0，y=4；令y=0，得x=3，
∴OA=3，OB=4，則AB=5，
設(shè)動點C移動的時間為t秒，
∴BD=t，OC=t，
∴AD=5-t，AC=3-t，
∴==，
而=，
∴AD：AB=AC：AO，
∴△ADC∽△ABC；

（2）由（1）得CD⊥OA，并且CD：OB=AC：AO，即CD：4=3：（3-t），
∴CD=（3-t），
當(dāng)CD為直徑的圓與y軸相切時，OC等于圓的半徑，
∴CD=2OC，即（3-t）=2t，
∴t=（秒），
即當(dāng)運動時間t為秒時，以CD為直徑的圓與y軸相切；

（3）存在．理由如下：
△OCD與△ACD都是直角三角形，
∴當(dāng)OC：CD=CD：AC時，Rt△OCD∽Rt△DCA，
∴=，解得t=；
當(dāng)OC：AC=CD：CD=1，Rt△OCD∽Rt△ACD，
∴=1，解得t=，
所以運動過程中當(dāng)時間為或秒時，可使得△OCD與△ACD相似．
分析：（1）先分別求出OA=3，OB=4，則AB=5，設(shè)動點C移動的時間為t秒，則AD=5-t，AC=3-t，再分別求出AD：AB，AC：AO，可得AD：AB=AC：AO，根據(jù)三角形相似的判定方法得到△ADC與△ABO相似；
（2）由（1）得CD⊥OA，通過CD：OB=AC：AO，得到CD=（3-t），當(dāng)CD為直徑的圓與y軸相切時，OC等于圓的半徑，則CD=2OC，即（3-t）=2t，解出t即可；
（3）易知△OCD與△ACD都是直角三角形，分類：當(dāng)OC：CD=CD：AC時，Rt△OCD∽Rt△DCA；當(dāng)OC：AC=CD：CD=1，Rt△OCD∽Rt△ACD，然后分別列出t的方程，解方程即可．
點評：本題考查了求直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)的方法．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及直線與圓相切的判定與性質(zhì)．