Question

如圖，已知直線AB：y₁=k₂x+b=與x軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y₂= 交于A（3，）、B（-5，a）兩點(diǎn)．AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE∥x軸且與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）判斷四邊形CBED的形狀，并說明理由．
（3）請根據(jù)圖象直接寫出y₁＜y₂時x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵雙曲線y=過A（3，），
∴k=xy=20，把B（-5，a）代入y=，得a=-4．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-5，-4），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將A（3，）、B（-5，-4）代入，
得，
解得：．
∴直線AB的解析式為：y=x+；

（2）四邊形CBED是菱形．理由如下：
點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，0），
∵BE∥x軸，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四邊形CBED是平行四邊形，
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED==5，
∴ED=CD．
∴四邊形CBED是菱形；

（3）當(dāng)y₁＜y₂時，x＜-5或0＜x＜3．
分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線解析式求k2，確定雙曲線解析式，再求B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求直線AB解析式；
（2）由直線解析式求C點(diǎn)坐標(biāo)，由AD⊥x軸確定D點(diǎn)坐標(biāo)，再求CD，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)求BE，證明線段BE與CD平行且相等，得出四邊形CBED為平行四邊形，由勾股定理求DE，得出CD=DE，證明?CBED為菱形；
（3）根據(jù)AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)及直線與雙曲線的位置關(guān)系求x的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求雙曲線，直線的解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求線段長，判斷特殊平行四邊形．