Question

方程x²+ax+b=0的兩根為x₁，x₂，若存在實數(shù)a，b使得x13+x23=x12+x22=x1+x2，則我們就稱這樣的兩個根（x₁，x₂）為一組“黃金根”，則這樣的“黃金根”共有

 

組．（參考公式：a³+b³=（a+b）[（a+b）²-3ab]）

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，進而分別求出x₁³+x₂³與x₁²+x₂²的值，根據(jù)已知條件x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，于是-a³+3ab=a²-2b=-a，分情況討論：①當(dāng)a=0，易求b=0；②當(dāng)a≠0，從等式-a³+3ab=a²-2b=-a入手可得a²-3b=1①與a²+a-2b=0②，①-②，可得a+b=-1，那么b=-a-1，再把b的值代入②，可得a²+3a+2=0，解得a=-1或a=-2，從而可得b=0或b=1，進而可得a、b的三組數(shù)值：

a=0 b=0

或

a=-1 b=0

或

a=-2 b=1

，代入x₁+x₂=-a，x₁x₂=b中，可求出相應(yīng)的x₁、x₂的3組數(shù)值．

解答：解：根據(jù)題意，得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∵x₁³+x₂³=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]，
∴x₁³+x₂³=-a（a²-3b）=-a³+3ab，
x₁²+x₂²=a²-2b，
∵x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，
∴-a³+3ab=a²-2b=-a，
（1）若a=0，則b=0；
（2）若a≠0，那么
-a（a²-3b）=-a，
于是a²-3b=1①，
由于a²-2b=-a，
所以a²+a-2b=0②，
①-②，得
a+b=-1，
于是b=-a-1，
把b=-a-1代入②，得
a²+a-2（-a-1）=0，
化簡，得
a²+3a+2=0，
解得a=-1或a=-2，
于是b=0或b=1，
∴

a=0 b=0

或

a=-1 b=0

或

a=-2 b=1

，
與之對應(yīng)的兩根分別是

x1=0 x2=0

或

x1=0 x2=1

或

x1=1 x2=1

．
故答案是3．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是要注意分情況討論．