如圖,△ABC中,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在BC上,且DE∥AB,將△CDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′(使∠BCE′<180°),連接AD′、BE′,設(shè)直線BE′與AC、AD′分別交于點(diǎn)O、E.
(1)若△ABC為等邊三角形,則
AD′
BE′
的值為1,求∠AFB的度數(shù);
(2)若△ABC滿足∠ACB=60°,AC=
3
,BC=
2
,①求
AD′
BE′
的值和∠AFB的度數(shù);②若E為BC的中點(diǎn),求△OBC面積的最大值.
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分析:(1)求
AD′
BE′
的值,可以通過證明△CBE′≌△CAD′,得到AD′=BE′求出,求∠AFB的度數(shù),通過△AOF與△BOC比較得出;
(2)求
AD′
BE′
的值和∠AFB的度數(shù),可以通過證明△CBE′∽△CAD′得到;要求△OBC面積的最大值,因?yàn)椤螦CB=60°,BC=
2
,即求CO的最大值,用面積公式結(jié)合三角函數(shù)可以得出.
解答:解:(1)連接D'E',
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∵△ABC為等邊三角形,DE∥AB,
∴△CED,△CD'E'為等邊三角形.
∴CD'=CE',∠BCA+∠ACE′=∠D′CE′+∠ACE′即∠BCE′=∠D′CA,AC=CB
∴△CBE′≌△CAD′(SAS),
∴∠CAF=∠CBO,AD′=BE′,
AD′
BE′
的值為1,
∵∠CAF=∠CBO,
∴∠ABO+∠BAF=120°,
∴∠AFB=60°.

(2)∵AC=
3
,BC=
2
,DE∥AB,
∴CA:CB=
3
2
,CD:CE=
3
2
=CD′:CE′,
∴CA:CB=CD′:CE′=
3
2
,
∵∠BCE′=∠D′CA,
∴△CBE′∽△CAD′,
AD′
BE′
=
6
2
,∠CBF=∠CAD′,
∵∠BOC=∠AOF,
∴∠AFB=∠ACB=60°:當(dāng)CO=
2
2
,△OBC面積的最大值=0.5BC•sin∠ACB•CO=
3
4
點(diǎn)評:本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化,旋轉(zhuǎn)變化前后,對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等,圖形的大小、形狀都不改變.同時綜合考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形,相似三角形的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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