Question

某校八年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師出示了如圖所示的一塊直角邊AC=30cm、BC=40cm的直角三角形余料，要求同學(xué)們?cè)谶@塊余料上截下一個(gè)正方形并且盡可能使所截的正方形的面積大，同學(xué)們?cè)诮?jīng)過(guò)討論后得出有如下兩種截法，請(qǐng)你利用所學(xué)的知識(shí)，通過(guò)計(jì)算回答哪種方法更好？

Answer 1

分析：分別求出兩種方法所截的正方形的邊長(zhǎng)：利用勾股定理可得到AB=50cm，
方法1：設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為xcm，過(guò)C作高CH交DE于P，先利用面積法可求得CH的長(zhǎng)，則CP=CH-PH=24-x，然后根據(jù)△CED∽△CBA，利用相似比建立關(guān)于x的方程

x

50

=

24-x

24

，解方程得到x的值；
方法2：設(shè)正方形DEFC的邊長(zhǎng)為ycm，易證△BEF∽△BAC，然后利用相似比建立關(guān)于x的方程

40-y

40

=

y

30

，解方程求出y；
最后比較x與y的大小即可判斷哪種方法更好．

解答：解：方法1：過(guò)C作高CH交DE于P，如圖，
設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為xcm，
∵AC=30，BC=40，
∴AB=50，
∴CH=

CA•CB

AB

=

30×40

50

=24，
∴CP=CH-PH=24-x，
∵ED∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CP

CH

，即

x

50

=

24-x

24

，
解得x=

600

37

；

方法2：設(shè)正方形DEFC的邊長(zhǎng)為ycm，
FC=y，則BF=40-y，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

BF

BC

=

EF

AC

，即

40-y

40

=

y

30

，
解得y=

120

7

，
∵y=

120

7

=

600

35

＞x=

600

37

．
∴按方法2所截的正方形的面積大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的應(yīng)用：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等建立等量關(guān)系，然后解方程．也考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)．