Question

（2009•長春）如圖，直線y=-x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線y=x與AB交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求（2）中S的最大值．
（4）當(dāng)t＞0時(shí)，直接寫出點(diǎn)（4，）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．
參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）．

Answer 1

【答案】分析：（1）簡單求兩直線的交點(diǎn)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系把s用t表示，注意當(dāng)MN在AD上時(shí)，這一特殊情況．
（3）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；
（4）求定點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍，點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，要用到分類討論．
解答：解：（1）由題意，得，
解得，
∴C（3，）．

（2）根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t．
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（8-t），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-（8-t）+6=t，
∴PQ=（8-t）-t=10-2t．
當(dāng)MN在AD上時(shí)，10-2t=t，
∴t=．
當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t．
當(dāng)＜t＜5時(shí)，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100．

（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=-2（t-）²+，
∴t=時(shí)，S最大值=．
當(dāng)≤t＜5時(shí)，S=4（t-5）²，
∵t＜5時(shí)，S隨t的增大而減小，
∴t=時(shí)，S最大值=．
∵＞，
∴S的最大值為．

（4）當(dāng)t=5時(shí)，PQ=0，P，Q，C三點(diǎn)重合；
當(dāng)t＜5時(shí)，知OE=4時(shí)是臨界條件，即8-t=4
即t=4
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5＞，
點(diǎn)（4，）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動(dòng)，則點(diǎn)（4，）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，OE=
∴8-t=即t=，
此時(shí)OE+PN==+（10-2t）=＞4滿足條件，
∴4＜t＜，
當(dāng)t＞5時(shí)，由圖和條件知，則有E（t-8，0），PQ=2t-10要滿足點(diǎn)（4，）在正方形的內(nèi)部，
則臨界條件N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：-×2+6=．滿足條件，
∴t＞6．
綜上所述：4＜t＜或t＞6．
點(diǎn)評(píng)：此題前三問簡單，考查函數(shù)基本性質(zhì)，求函數(shù)最值問題，第四問考查動(dòng)點(diǎn)問題，求t的范圍，觀察圖形，搞清幾何坐標(biāo)，理清思路，又運(yùn)用分類討論思想．