Question

已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=4．現以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若⊙P的半徑為R，圓心P在（2）的拋物線上運動，問：是否存在這樣的點P，使得⊙P與兩坐標軸都相切？若存在，請求出此時⊙P半徑R的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過C作CH⊥OA于H，
∵將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處，
∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
∴OH=2，CH=2，
∴C的坐標是（2，2），
答：C點坐標為（2，2）．

（2）設拋物線的解析式為：y=ax²+bx，
把A（4，0），C（2，2）代入得：，
∴，
∴，
答：此拋物線的解析式為．

（3）存在．
設圓心P（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x，
由y=x，得，
解得x₁=0（舍去），，
由y=-x，得，
解得x₁=0（舍去），，
∴所求⊙P的半徑或，
答：存在這樣的點P，使得⊙P與兩坐標軸都相切，此時⊙P半徑R的值是4+或4-．
分析：（1）過C作CH⊥OA于H，根據折疊得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可；
（2）設拋物線的解析式為：y=ax²+bx，把A（4，0），C（2，2）代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據圓與x、y軸相切得出直線y=±x，根據y=x，y=-x得出方程，求出方程的解即可．
點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形，折疊問題，解二元一次方程組，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．