Question

12．已知，平行四邊形ABCD中，點E在DC邊上，且DE=3EC，AC與BE交于點F；
（1）如果$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，那么請用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$來表示$\overrightarrow{AF}$；
（2）在原圖中求作向量$\overrightarrow{AF}$在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形法則，易得$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，再由三角形法則，可求得$\overrightarrow{AC}$，又由DE=3EC，CD∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{5}$，繼而求得答案；
（2）首先過點F作FM∥AD，F(xiàn)N∥AB，根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC且AD=BC，CD∥AB且CD=AB，
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
又∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，
∵DE=3EC，
∴DC=4EC，
又∵AB=CD，
∴AB=4EC，
∵CD∥AB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AB}{EC}=4$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{5}$，
∴$AF=\frac{4}{5}AC$，
∴$\overrightarrow{AF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{5}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=\frac{4}{5}\overrightarrow a+\frac{4}{5}\overrightarrow b$；

（2）如圖，過點F作FM∥AD，F(xiàn)N∥AB，則$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$分別是向量$\overrightarrow{AF}$在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量．

點評 此題考查了平面向量的知識以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．