Question

（1）解方程：2(x2+

1

x2

)-3(x+

1

x

)-1=0；
（2）如圖在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F．①求證：△ABC∽△FCD；②若S_△FCD=5，BC=10，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x+

1

x

=y，則原方程化為2y²-3y-5=0，解之得：y1=-1；y2=

5

2

．分別代入即可求解．
（2）①利用D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以證明題目結(jié)論；
②利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出三角形ABC的面積，然后利用面積公式就求出了DE的長(zhǎng)．

解答：（1）解：設(shè)x+

1

x

=y，則原方程化為2（y²-2）-3y-1=0，即：2y²-3y-5=0
解之得：y1=-1；y2=

5

2

．分別代入得：x1=2；x2=

1

2

，經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根．

（2）①證明：∵D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∴△BDE≌△EDC，
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
②解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴

S△ABC

S△FCD

=4，
∵S_△FCD=5，∴S_△ABC=20，又BC=10，
∴AM=4；∵DE∥AM，∴

DE

AM

=

BD

BM

∵DM=

1

2

CD=

5

2

，BM=BD+DM，BD=

1

2

BC=5，
∴

DE

4

=

5

5+5/2

，∴DE=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，換元法解二次方程，也利用了三角形的面積公式求線(xiàn)段的長(zhǎng)．