Question

已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE；過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P；若AE=AP=1，PB=，下列結(jié)論中正確的是

1. A.
   △ADP≌△ABP
2. B.
   DE⊥BE
3. C.
   ∠ABE=∠ABP
4. D.
   ∠APD=120°

Answer 1

B
分析：根據(jù)同角的余角相等可得∠BAE=∠DAP，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DP，對(duì)應(yīng)角相等可得∠APD=∠AEB，∠ABE=∠ADP，再證明△AEP是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AEP=∠APE=45°，然后求出∠APD=135°，再求出∠BED=90°，即可得解．
解答：∵AP⊥AE，
∴∠EAP=90°，即∠BAE+∠BAP=90°，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△ABE和△ADP中，
∵，
∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴BE=DP，∠APD=∠AEB，∠ABE=∠ADP，
∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=180°-45°=135°，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∴∠BED=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，
∴DE⊥BE，故B選項(xiàng)正確；
∵AE=AP=1，PB=，
∴EP===，
在Rt△BEP中，BE===，
∴PB≠BE，
∴PD≠PB，
因此△ADP和△ABP不全等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∴∠ADP≠∠ABP，
又∵∠ABE=∠ADP，
∴∠ABE≠∠ABP，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，本題證明得到△ABE和△ADP全等是解題的關(guān)鍵．