Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°且BC=8，梯形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a度后得到梯形AEFG，a為銳角．
（1）如圖一，旋轉(zhuǎn)過程中，若線段AB與線段EF始終有交點，求a的范圍；
（2）如圖二，若B點落在線段EF上，小剛同學用三角板量得F、G和D三點在同一條直線上，由此，他得到四邊形ABFG是平行四邊形，你能證明嗎？請寫出理由；
（3）小剛最后又發(fā)現(xiàn)中的平行四邊形ABFG是菱形，請求出梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）梯形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a度后得到梯形AEFG，a為銳角，旋轉(zhuǎn)過程中，當線段AB與線段EF的交點與B點重合，即B點落在線段EF上之前，此時AB=AE，∠E=∠ABC=60°，
∴△AEB為等邊三角形，
∴∠EAB=60°，
∴線段AB與線段EF始終有交點，a的范圍為0°＜α≤60°；

（2）四邊形ABFG是平行四邊形．理由如下：
連DG，如圖，
∵B點落在線段EF上，F(xiàn)、G和D三點在同一條直線上，
而△ABE為等邊三角形，
∴∠EAB=60°，
∴∠BAG=120°-60°=60°，
而AG=AD，
∴△AGD為等邊三角形，
∴∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°，
∴∠2=∠ABC=60°，
∴GF∥AB，
而AG∥BF，
∴四邊形ABFG是平行四邊形；

（3）過A作AM⊥EF于M點，
∵平行四邊形ABFG是菱形，
∴AG=AB=BF=BE，
而BC=8，
∴AG=4，EF=8，AM=AB•sin60°=AB=2，
∴梯形ABCD的面積=梯形AEFG的面積=×（4+8）×2=12．
分析：（1）由梯形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a度后得到梯形AEFG，a為銳角，旋轉(zhuǎn)過程中，當線段AB與線段EF的交點與B點重合，即B點落在線段EF上之前，此時AB=AE，∠E=∠ABC=60°，得到△AEB為等邊三角形，即可得到a的范圍為0°＜α≤60°．
（2）連DG，由B點落在線段EF上，F(xiàn)、G和D三點在同一條直線上，而△ABE為等邊三角形，得到∠EAB=60°，則∠BAG=120°-60°=60°，得到△AGD為等邊三角形，易證得∠1=∠2=∠ABC，得到GF∥AB，而AG∥BF，所以四邊形ABFG是平行四邊形；
（3）過A作AM⊥EF于M點，由平行四邊形ABFG是菱形，得到AG=AB=BF=BE，而BC=8，得到AG=4，EF=8，AM=AB=2，所以
梯形ABCD的面積=梯形AEFG的面積=×（4+8）×2=12．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了平行四邊形的判定方法和梯形的性質(zhì)以及菱形的判定．