Question

如圖，開口向下的拋物線y=ax²-8ax+12a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限，且使△OCA∽△OBC．
（1）求OC的長(zhǎng)及

BC

AC

的值；
（2）設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)時(shí)，求直線BP和拋物線的解析式．
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△OCQ是等腰三角形？不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；存在，寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令拋物線中y=0，可得出A、B的坐標(biāo)，即可確定OA，OB的長(zhǎng)．根據(jù)△OCA∽△OBC，可得出關(guān)于OC、OA、OB的比例關(guān)系式即可求出OC的長(zhǎng)．
根據(jù)圖象可知：BC²：AC²正好是三角形OBC和三角形OAC的面積比，而這兩個(gè)等高三角形的面積比等于底邊OB、OA的比，因此BC²：AC²=OB：OA，據(jù)此可求出

BC

AC

的值．
（2）C是BP中點(diǎn)，因此C的橫坐標(biāo)是B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，在（1）中已經(jīng)求得了OC的長(zhǎng)，因此不難得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，根據(jù)B、C的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式．
（3）應(yīng)該有四個(gè)符合條件的點(diǎn)：
①以O(shè)為圓心，OC為半徑作弧，交x軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)均符合Q點(diǎn)要求，此時(shí)OC=OQ，已知了OC的長(zhǎng)，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
②以C為圓心，CO為半徑作弧，交x軸于兩點(diǎn)，除O點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)也符合Q點(diǎn)要求，此時(shí)CO=CQ，Q點(diǎn)坐標(biāo)是C點(diǎn)坐標(biāo)的2倍，由此可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)（其實(shí)此時(shí)Q與B重合）．
③作OC的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)，也符合Q點(diǎn)要求，此時(shí)OQ=CQ，可設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間距離公式表示出QO和CQ的長(zhǎng)，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題設(shè)知a＜0，且方程ax²-8ax+12a=0有兩二根x₁=2，x₂=6，
于是OA=2，OB=6，
∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=12，
即OC=2

3

，
而

BC2

AC2

=

SOBC

SOCA

=

OB

OA

=3，
故

BC

AC

=

3

；

（2）∵C是BP的中點(diǎn)
∴OC=BC從而C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
又∵OC=2

3

∴C（3，

3

），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，
因其過(guò)點(diǎn)B（6，0），C（3，

3

），
則有

0=6k+b 3 =3k+b

，
∴

k=- 3 3 b=2 3

．
∴y=-

3

3

x+2

3

，
又點(diǎn)C（3，

3

）在拋物線上，
∴

3

=9a-24a+12a，
∴a=-

3

3

，
∴拋物線解析式為：y=-

3

3

x²+

8 3

3

x-4

3

；

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（2

3

，0）、（-2

3

，0）、（6，0）、（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí)．
（3）題中要把所有的情況都考慮到，不要漏解．