Question

（2002•常州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，直線AE切⊙O于點(diǎn)A，且AB•CD=AD•PC，
求證：（1）△ABD∽△CPD；（2）AE∥BP．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AB•CD=AD•PC，即，所以要證△ABD∽△CPD，只需證得兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可，而這組角可通過圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，可求得∠ABD=∠P；根據(jù)弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；內(nèi)錯(cuò)角相等，可證得兩直線平行．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴．
∴△ABD∽△CPD．

（2）由（1）得∠ABD=∠P．
又AE為切線，AD為弦，
∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．