Question

19．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點，過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連接ED．
（1）求證：ED∥AC；
（2）連接AE，試證明：AB•CD=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理，可得∠BAD=∠E，又由BE∥AD，易證得∠BAD=∠ADE，然后由AD是△ABC的角平分線，證得∠CAD=∠ADE，繼而證得結(jié)論；
（2）首先連接AE，易得∠CAD=∠ABE，∠ADC=∠AEB，則可證得△ADC∽△BEA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵BE∥AD，
∴∠E=∠ADE，
∵∠BAD=∠E，
∴∠BAD=∠ADE，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴ED∥AC；

（2）連接AE，
∵∠CAD=∠ADE，∠ADE=∠ABE，
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠AEB=180°，
∴∠ADC=∠AEB，
∴△ADC∽△BEA，
∴AC：AB=CD：AE，
∴AB•CD=AE•AC．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理．注意證得△ADC∽△BEA是解此題的關(guān)鍵．