Question

某工程機(jī)械廠根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的大型挖掘機(jī)共100臺(tái)，該廠所籌生產(chǎn)資金不少于22 400萬(wàn)元，但不超過22 500萬(wàn)元，且所籌資金全部用于生產(chǎn)此兩型挖掘機(jī)，所生產(chǎn)的此兩型挖掘機(jī)可全部售出，此兩型挖掘機(jī)的生產(chǎn)成本和售價(jià)如下表：

型號(hào)	A	B
成本（萬(wàn)元/臺(tái)）	200	240
售價(jià)（萬(wàn)元/臺(tái)）	250	300

（1）該廠對(duì)這兩型挖掘機(jī)有哪幾種生產(chǎn)方案？

（2）該廠如何生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)？

（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)B型挖掘機(jī)的售價(jià)不會(huì)改變，每臺(tái)A型挖掘機(jī)的售價(jià)將會(huì)提高m萬(wàn)元（m＞0），該廠應(yīng)該如何生產(chǎn)獲得最大利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=售價(jià)﹣成本）

Answer 1

解：（1）設(shè)生產(chǎn)A型挖掘機(jī)x臺(tái)，則B型挖掘機(jī)（100﹣x）臺(tái)，

由題意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40。

∵x取非負(fù)整數(shù)，∴x為38，39，40。

∴有三種生產(chǎn)方案：

①A型38臺(tái)，B型62臺(tái)；

②A型39臺(tái)，B型61臺(tái)；

③A型40臺(tái)，B型60臺(tái)。

（2）設(shè)獲得利潤(rùn)W（萬(wàn)元），由題意得W=50x+60（100﹣x）=6000﹣10x，

∵﹣10＜0，∴W隨x的增大而減小。

∴當(dāng)x=38時(shí)，W_最大=5620（萬(wàn)元）。

∴生產(chǎn)A型38臺(tái)，B型62臺(tái)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)。

（3）由題意得W=（50+m）x+60（100﹣x）=6000+（m﹣10）x

∴當(dāng)0＜m＜10，則x=38時(shí)，W最大，即生產(chǎn)A型38臺(tái)，B型62臺(tái)；

當(dāng)m=10時(shí)，m﹣10=0則三種生產(chǎn)方案獲得利潤(rùn)相等；

當(dāng)m＞10，則x=40時(shí)，W最大，即生產(chǎn)A型40臺(tái)，B型60臺(tái)。

【解析】（1）因?yàn)槊糠N型號(hào)的成本及總成本的上限和下限都已知，所以設(shè)生產(chǎn)A型挖掘機(jī)x臺(tái)，則B型挖掘機(jī)（100﹣x）臺(tái)的情況下，可列不等式22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解不等式，取其整數(shù)值即可求解。

（2）在知道生產(chǎn)方案以及每種利潤(rùn)情況下可列函數(shù)解析式W=50x+60（100﹣x）=6000﹣10x，利用函數(shù)的自變量取值范圍和其單調(diào)性即可求得函數(shù)的最值。

（3）結(jié)合（2）得W=（50+m）x+60（100﹣x）=6000+（m﹣10）x，在此，必須把（m﹣10）正負(fù)性考慮清楚，即m＞10，m=10，m＜10三種情況，最終才能得出結(jié)論．即怎樣安排，完全取決于m的大小。