Question

閱讀下列材料：
一個自然數(shù)a恰好等于另一個自然數(shù)b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)．
已知a=2004²+2004²×2005²+2005²，試說明a是一個完全平方數(shù)．

Answer 1

解：設(shè)x=2004，則2005=2004+1=x+1，故有：
a=x²+x²（x+1）²+（x+1）²，
=x²-2x（x+1）+（x+1）²+2x（x+1）+x²（x+1）²，
=[x-（x+1）]²+2x（x+1）+x²（x+1）²，
=1+2x（x+1）+x²（x+1）²，
=[1+x（x+1）]²，
=[1+x+x²]²，
=（1+2004+2004²）²，
=4018021²．
∴a是一個完全平方數(shù)．
分析：考慮到2004²、2005²都是數(shù)值較大的數(shù)，計算起來很不方便，因此可采用換元法，設(shè)x=2004，則2005=2004+1=x+1，然后再根據(jù)所設(shè)及題意對原式進(jìn)行變形配成完全平方式．
點評：本題考查了完全平方式，在計算中巧用換元法靈活應(yīng)用公式可化繁為簡，起到簡便計算的作用．