Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的兩個(gè)根均為整數(shù)，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：首先對(duì)方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0因式分解可得[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0，于是有x₁=

9

6-k

，x₂=

6

9-k

．消去k后，有（x₁+3）（x₂-2）=-6，列出所有x₁、x₂對(duì)應(yīng)的整數(shù)，即可求得對(duì)應(yīng)的k的值．

解答：解：原方程可化為：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因?yàn)榇朔匠淌顷P(guān)于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x₁=

9

6-k

①，x₂=

6

9-k

②．
由①得k=

6x1-9

x1

，由②得k=

9x2-6

x2

，
∴

6x1-9

x1

=

9x2-6

x2

，
整理得x₁x₂-2x₁+3x₂=0，
有（x₁+3）（x₂-2）=-6．
∵x₁、x₂均為整數(shù)，
∴

x1+3=-6，-3，-2，-1，1，2，3，6 x2-2=1，2，3，6，-6，-3，-2，-1

．
故x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k=

6x1-9

x1

=6-

9

x1

，
將x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分別代入，得
k=7，

15

2

，

39

5

，

33

4

，

21

2

，15，3．

點(diǎn)評(píng)：正確利用因式分解法求得方程的解，得到方程的兩個(gè)解之間的關(guān)系（x₁+3）（x₂-2）=-6，根據(jù)x₁、x₂均為整數(shù)，確定x的取值是解決本題的關(guān)鍵．