【題目】(在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,經(jīng)過對角線交點O的直線EF繞點O旋轉(zhuǎn),分別交AD、BC于點E、F,連接AF、CE.

(1)如圖(1),依據(jù)下列條件在普通四邊形、梯形、普通平行四邊形、矩菱形或正方形中選擇填空:旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AFCE始終為;
當(dāng)點E為AD的中點時四邊形AFCE為
當(dāng)EF⊥AC時四邊形AFCE為;
(2)如圖(1),當(dāng)EF⊥AC時,求AF的長;
(3)如圖(2),在(2)的基礎(chǔ)上,若動點P從A點出發(fā),沿A→F→B→A運動一周停止,速度為每秒5厘米;同時點Q從C點出發(fā),沿C→D→E→C運動一周停止,速度為每秒4厘米,在P、Q運動過程中,第幾秒時,四邊形APCQ是平行四邊形?

【答案】
(1)平行四邊形;平行四邊形;菱形
(2)

解::設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=(8﹣x)cm,

在Rt△ABF中,AB=4cm,

由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,

即42+(8﹣x)2=x2

解得:x=5,

∴AF=5


(3)

根據(jù)題意得,P點AF上時,Q點CD上,此時A,C,P,Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形;

同理P點AB上時,Q點DE或CE上,也不能構(gòu)成平行四邊形.

∴只有當(dāng)P點在BF上,Q點在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,

∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,

PC=QA,

∵點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,

∴PC=5t,QA=12﹣4t,

∴5t=12﹣4t,

解得:t= ,

∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,t= 秒.


【解析】解:(1)當(dāng)點E為AD的中點時,四邊形AFCE為平行四邊形;理由如下:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
在△AOE和△COF中, ,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF.
又∵AE∥CF,
∴四邊形AFCE為平行四邊形;
當(dāng)點E為AD的中點時,AE=CF,AE∥CF,
則四邊形AFCE為平行四邊形;
當(dāng)EF⊥AC時,四邊形AFCE為菱形,理由如下:
∵由①知四邊形AFCE為平行四邊形,
∵EF⊥AC,
∴四邊形AFCE為菱形;
所以答案是:平行四邊形;平行四邊形;菱形.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對平行四邊形的性質(zhì)的理解,了解平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

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