【答案】
分析:(1)由于AB∥x軸,根據(jù)拋物線的對稱性知:點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,由此可求得B點(diǎn)的坐標(biāo),然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求得待定系數(shù)的值,從而確定該拋物線的解析式.
(2)根據(jù)A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo),可求得OA、OB、AB的長,即可由勾股定理的逆定理判定△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,即∠AOC、∠BOD互余,由此可得∠OAC=∠BOD;若△AOC與△BOD相似,則有兩種情況:
①∠BDO=90°,此時BD⊥x軸,根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo);
②∠OBD=90°,此時△AOC∽△ODB,根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)設(shè)直線OA與A′B′的交點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)M在第二象限時,由于△A′OB′是由△AOB旋轉(zhuǎn)而得,那么∠A′OB′=90°,在Rt△A′OB′中,若M是斜邊A′B′的中點(diǎn),那么A′M=OM,即∠MOA′=∠A′,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠A=∠A′,等量代換后可求得AB∥OA′,即A′在x軸上,由此可求得點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo),進(jìn)而可確定直線A′B′的解析式,聯(lián)立直線AB的解析式,即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時,也可能落在直線OA上,解法同上.
解答:解:(1)∵AB∥x軸,且拋物線同時經(jīng)過A、B兩點(diǎn),
∴A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱;
由于A(-4,2),故B(1,2);
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,得:
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,解得
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;
故拋物線解析式為
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;(1分)
點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,2);(1分)
(2)∵A(-4,2),B(1,2),O(0,0),
∴AB=5,OA=2
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,OB=
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;
∴OB
2+OA
2=5+20=25=AB
2,
故△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∵∠AOC+∠CAO=90°,∴∠CAO=∠BOD;
若∠BDO=90°,則△ACO∽△ODB,此時D(1,0);(2分)
若∠OBD=90°,則△ACO∽△OBD,
∴
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,得OD=5,
∴D(5,0);(2分)
(3)當(dāng)線段A′B′的中點(diǎn)落在第二象限時,設(shè)A'B'與直線OA的交點(diǎn)為M,
∵∠A′OB′=90°,
∴A'M=OM,
∴∠MOA′=∠A′=∠A,
∴AB∥OA′;
∵AB∥x軸,
∴OA′與x軸重合;
此時A′(
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,0),
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,
則直線A′B′的函數(shù)
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,(2分)
點(diǎn)P坐標(biāo)為
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.(2分)
當(dāng)線段A′B′的中點(diǎn)落在第四象限時,同理P坐標(biāo)為
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.(2分)
點(diǎn)評:此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.(3)題要仔細(xì)審題,注意關(guān)鍵詞“直線OA”,不要遺漏點(diǎn)E在第四象限的情況.