Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，8），將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長線交線段OA于點(diǎn)H，連CH、CG．

（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數(shù)；判斷線段HG、OH、BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴△CDG≌△CBG（HL）

（2）解：∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵ ，

∴△CHO≌△CHD（HL），

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG

（3）解：四邊形AEBD可為矩形．

如圖，連接BD、DA、AE、EB，

四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，

∴當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形．

∵四邊形DAEB為矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=6，

∴AG=BG=3．

設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），則HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=3．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，

∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，，得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，得到△CDG≌△CBG；（2）由（1）知△CDG≌△CBG，得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，得到△CHO≌△CHD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，得到∠OCH=∠DCH，OH=DH，由正方形的性質(zhì)，得到HG=HD+DG=HO+BG；（3）根據(jù)四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候，由DG=BG，得到DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形；再根據(jù)勾股定理求出H點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．