Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E為AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為．其中，正確的結論是（ ）

A．①②④
B．①③⑤
C．②③④
D．①④⑤

Answer 1

【答案】分析：首先根據已知條件看能得到哪些等量條件，然后根據得出的條件來判斷各結論是否正確．
解答：解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正確；
②當B、E重合時，A、D重合，此時DE⊥AC；
當B、E不重合時，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，則∠AFE、∠DFC必為銳角；
故②不完全正確；
④∵，∴；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；
③由④知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；
⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當AD最長時，BE也最長；
故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=，AD=1；
故S_梯形ABCD=（1+2）×1=，故⑤正確；
因此本題正確的結論是①④⑤，故選D．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質、平行線的判定、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度較大．