Question

我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成．點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AF，BG，CH，DE的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，P，Q分別是HE，EF，F(xiàn)G，GH上的中點(diǎn)，且四邊形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面積為20，則正方形MNPQ的面積是________．

Answer 1

2
分析：由E為AF的中點(diǎn)，得到AE為AF的一半，由題意得到AE為DE的一半，根據(jù)正方形ABCD的面積求出邊長(zhǎng)，在直角三角形AED中，設(shè)AE=x，則DE=2x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出正方形EFGH的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出它的面積，根據(jù)正方形MNQP為正方形EFGH的中點(diǎn)四邊形，面積為正方形EFGH的一半，求出即可．
解答：∵E為AF的中點(diǎn)，DE=AF，
∴AE=DE，
∵正方形ABCD面積為20，∴AD=2，
在Rt△ADE中，設(shè)AE=x，則DE=2x，
根據(jù)勾股定理得：AD²=AE²+DE²，即20=x²+4x²，
解得：x=2，
∴AE=EF=2，
∴正方形EFGH的面積為4，
∵正方形MNQP為正方形EFGH的中點(diǎn)四邊形，
∴正方形MNQP的面積為2．
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理的證明，涉及的知識(shí)有：勾股定理，中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，以及正方形面積公式的應(yīng)用，利用了方程的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．