Question

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在射線DE上，并且EF＝AC．

（1）求證：AF=CE；

（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結(jié)論；

（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90⁰ ，BC⊥BC，∴DF∥AC，

又∵EF=AC，∴四邊形EFAC是平行四邊形，

∴AF=CE.                                                          

（2）當∠B=30⁰ 時四邊形EFAC是菱形.

∵點E在BC的垂直平分線上，

∴DB=DC=BC，BE=EC，∠B=∠ECD=30⁰ ，

∵DF∥AC，

∴△BDE∽△BCA.

∴，

即BE=AE.

∴AE=CE.

又∠ECA=90⁰ – 30⁰ =60⁰

∴△AEC是等邊三角形.

∴CE=AC.    

所以四邊形EFAC是菱形.                                           

（3）不可能.若四邊形EFAC是正方形，則E與D重合，A與C重合，

不可能有∠B=30⁰ .