Question

【題目】已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長方形，點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)分別為A（9，0）、C（0，4），D（5，0），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿O[Math Processing Error] C[Math Processing Error] B[Math Processing Error] A運(yùn)動，點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t=5時(shí)， P點(diǎn)坐標(biāo)為____________；

（2）當(dāng)t>4時(shí)，OP+PD有最小值嗎？如果有，請算出該最小值，如果沒有，請說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△ODP是腰長為5的等腰三角形？（直接寫出t的值）.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；（2）有最小值，最小值為；（3）t=7或12或14.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，OC=4，故當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P在BC上，且PC=5-4=1，由此即可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖1，由題意可知，需分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O1，連接DO1，交BC于點(diǎn)P1，此時(shí)OP+PD最短，最短值等于DO1；②當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，當(dāng)P與A重合時(shí)，OP+PD最短，此時(shí)最短值等于AO+AD；分上述兩種情況計(jì)算，并比較兩種情況計(jì)算結(jié)果的大小，即可得到所求值；

（3）如圖2，由題意，需分OD是底邊和腰兩種情況討論，①當(dāng)OD是底邊時(shí)，點(diǎn)P是OD的垂直平分線與BC的交點(diǎn)P1；②當(dāng)OD是腰時(shí)，以D為圓心，DO為半徑作圓，所作圓與BC、AB的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，由圖可知此時(shí)，點(diǎn)P有三個(gè)位置，分別在圖中的P2、P3、P4處；根據(jù)四個(gè)點(diǎn)P的位置結(jié)合已知條件即可求出對應(yīng)的t的值，并檢驗(yàn)此時(shí)等腰△ODP的腰長是否為5即可得到答案.

試題解析：

（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，4），

∴OC=4，

∵當(dāng)t=5時(shí)，OC+CP1=5，

∴CP1=1，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(1，4）；

（2）如圖1，當(dāng)t＞5時(shí)，點(diǎn)P在線段BC上或AB上，此時(shí)OP+PD有最小值，現(xiàn)分兩種情況討論如下：

①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

作點(diǎn)O關(guān)于BC為對稱軸的對稱點(diǎn)O′，此時(shí)O′(0，8)，

連結(jié)O′D交BC于P，則OP+PD=O′D=；

②當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，OP+PD最小，此時(shí)OP+OD=OA+DA=13；

綜合①②，∵，

∴ OP+PD的最小值是；

（3）如圖2，由題意分OD是底邊和腰兩種情況討論如下：

①當(dāng)OD是底邊時(shí)，點(diǎn)P是OD的垂直平分線與BC的交點(diǎn)P1，此時(shí)CP1=OD=2.5，

又∵OC=4，

∴對應(yīng)的t1=(OC+CP1)÷1=6.5，

∵此時(shí)△ODP的腰長=，

∴此種情況不符合要求；

②當(dāng)OD是腰時(shí)，以D為圓心，DO為半徑作圓，所作圓與BC、AB的交點(diǎn)P2、P3、P4為所求P點(diǎn)，過點(diǎn)P3作P3E⊥OA于點(diǎn)E，

由題意可知：OP2=OD=5=DP3=DP4，

∴由勾股定理可得：在Rt△OCP2中，CP2=；在Rt△DP3E中，DE=；在Rt△DP4A中，AP4=；

∴t2=(OC+CP2)÷1=7；t3=(OC+CP3)÷1=12；t4=(OC+BC+AB-AP4)÷1=14；

綜上所述，當(dāng)t的值分別為：t=7或t=12或t=14時(shí)，△ODP是腰長為5的等腰三角形.