Question

5．如圖所示，矩形ABCD的邊AB=3，Rt△BEF的直角頂點E在對角線AC上，另一頂點F在邊CD上，若△BEF的一個銳角為30°，則BC的長為3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)和已知條件證出B、C、F、E四點共圓，由圓周角定理得出∠BFE=∠ACB，分兩種情況：①當(dāng)∠BFE=30°時，∠ACB=30°；
②當(dāng)∠EBF=30°時，∠ACB=∠BFE=60°；由三角函數(shù)分別求出BC即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠BCD+∠BEF=180°，
∴B、C、F、E四點共圓，
∴∠BFE=∠ACB，
分兩種情況：①當(dāng)∠BFE=30°時，∠ACB=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$；
②當(dāng)∠EBF=30°時，∠ACB=∠BFE=60°，
BC=$\frac{AB}{\sqrt{3}}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$；
綜上所述：BC的長為3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$；
故答案為：3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四點共圓是解決問題的關(guān)鍵．