Question

如圖9，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)在第一象限，滿足∠為直角,且恰使△∽△.

(1)(3分)求線段的長(zhǎng).
(2)(3分)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
(3)(4分)在軸上是否存在點(diǎn)，使△為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）２
（2）ｙ＝－ｘ＋ｘ－４
（3）（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）解析:
（１）解：由ax－8ax+12a＝０（a＜0）得
　　　ｘ＝２，ｘ＝６
　　　即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６                   　……1分
　　　∵△OCA∽△OBC
　　　∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６              　……2分
　　　∴ＯＣ＝２（－２舍去）
　　　∴線段ＯＣ的長(zhǎng)為２                  　　……3分
（２）解：∵△OCA∽△OBC
　　　∴
設(shè)ＡＣ＝ｋ，則ＢＣ＝ｋ
由ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ得
ｋ＋（ｋ）＝（６－２）
解得ｋ＝２（－２舍去）
∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２＝ＯＣ              　 ……1分
過點(diǎn)Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于點(diǎn)Ｄ
∴ＯＤ＝ＯＢ＝３
∴ＣＤ＝
∴Ｃ的坐標(biāo)為（３，）                    　 ……2分
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得
＝ａ（３－２）（３－６）
∴ａ＝－
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：
ｙ＝－ｘ＋ｘ－４              　　　　　　　　 ……3分
（３）解：①當(dāng)Ｐ與Ｏ重合時(shí)，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標(biāo)為（０，０）          ……1分
②當(dāng)ＰＢ＝ＢＣ時(shí)(Ｐ在B點(diǎn)的左側(cè))，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標(biāo)為（６－２，０）  ……2分
③當(dāng)Ｐ為ＡＢ的中點(diǎn)時(shí)，ＰＢ＝ＰＣ，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標(biāo)為（４，０）                          ……3分
④當(dāng)ＢＰ＝ＢＣ時(shí)(Ｐ在B點(diǎn)的右側(cè))，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標(biāo)為（６＋２，０）                
∴在ｘ軸上存在點(diǎn)Ｐ，使△ＢＣＰ為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為：
（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）  ……4分