Question

一張矩形紙片經(jīng)過折疊得到一個(gè)三角形（如圖所示），則三角形與矩形周長之比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：首先由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)求得：AC′=DC′=C′F，BC′=BC，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，再求出個(gè)角的度數(shù)，然后設(shè)AC′=x，則C′D=x，再利用三角函數(shù)的知識表示出C′E、BE、AB、BC′的長即可算出△BC′E的周長和矩形ABCD的周長，進(jìn)而求得答案．

解答：解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AC′=DC′=C′F，BC′=BC，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠1=∠2=∠3=

1

3

∠ABC=30°，
∴∠4=∠5=180°-∠A-∠1=60°，
∴∠6=∠7=（180°-∠4-∠5）÷2=30°，
設(shè)AC′=x，則BC′=2x，C′D=x，
AB=

AC′

tan30°

=

3

x，C′E=

C′D

cos30°

=

2 3

3

x，BE=

CB

cos30°

=

2x

3 2

=

4 3

3

x，
∴△BC′E的周長為：C′B+EB+C′E=2x+

2 3

3

x+

4 3

3

x=（2+2

3

）x，
矩形ABCD的周長為：2（AB+AD）=2×（

3

x+2x）=（2

3

+4）x，
∴三角形與矩形周長之比為：（2+2

3

）：（2

3

+4）=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點(diǎn)評：此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．解題的關(guān)鍵是找到折疊中的線段的對應(yīng)關(guān)系，角的對應(yīng)關(guān)系，利用三角函數(shù)表示出△BC′E和矩形ABCD的長和寬．