Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在線段AB上，且．
（1）求點C的坐標（用含有m的代數式表示）；
（2）將△AOC沿x軸翻折，當點C的對應點C′恰好落在拋物線上時，求該拋物線的表達式；
（3）設點M為（2）中所求拋物線上一點，當以A、O、C、M為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

（1）（3，-2m）；（2）；（3）或（或．

試題分析：（1）令x=0，即可求得B的縱坐標，令x=0求得x，則A、B的坐標即可求得，根據．可以得到C是AB的中點，據此即可求得C的坐標.
（2）求得C關于x軸的對稱點，代入拋物線的解析式，即可求得m的值，進而求得拋物線解析式.
（3）分AO是平行四邊形的對角線，OC是平行四邊形的對角線，AC是平行四邊形的對角線三種情況進行討論，根據平行四邊形的對角線互相平分，即可求解．
（1）在直線中，令x=0，解得：y=-4m，則B的坐標是（0，-4m），
令y=0，解得：x=6，則A的坐標是（6，0）．
∵．∴C是AB的中點.∴C的坐標是（3，-2m）.
（2）∵將△AOC沿x軸翻折，點C的對應點為C′，∴C′的坐標是（3，2m），
代入拋物線的解析式得：，解得：.
∴拋物線的解析式是：.
（3）設M的坐標是（x，y），
又C的坐標是，
當AO是對角線時，AO的中點是（3，0），則解得：.
則M的坐標是，滿足函數的解析式.
當AC是平行四邊形的對角線時，AC的中點是：，則M的坐標是是拋物線上的點.
當OC是平行四邊形的對角線時，OC的中點是，
則，解得：.
則M的坐標是．點是拋物線上的點．
綜上所述，M的坐標是：或（或．