Question

（2009•雅安）如圖，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，2），對稱軸為y軸，且經(jīng)過點(diǎn)（-4，4）．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），P為拋物線上一點(diǎn)（如圖），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連接PB．求證：PQ=PB．
（3）若點(diǎn)C（-2，4），利用（2）的結(jié)論．判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使△KBC的周長最小？若存在，求出這個(gè)最小值，并求此時(shí)點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將解析式設(shè)為y=a（x-k）²+h的形式，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定待定系數(shù)．
（2）首先設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出PQ、PB的長，進(jìn)行比較即可．
（3）BC的長是定值，若△KBC的周長最小，那么KC+KB的長最小，結(jié)合（2）的結(jié)論，當(dāng)CK∥y軸，即過C作x軸的垂線時(shí)，該垂線和拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的K點(diǎn)．

解答：（1）解：由于拋物線的頂點(diǎn)為（0，2），設(shè)其解析式為：y=ax²+2；
將點(diǎn)（-4，4）代入上式，得：a×（-4）²+2=4，a=

1

8

即：拋物線的解析式：y=

1

8

x²+2．

（2）證明：設(shè)P（a，

1

8

a²+2），則PQ=

1

8

a²+2．
已知：B（0，4），則 PB=

(a-0)2+( 1 8 a2+2-4)2

=

1

8

a²+2；
即：PQ=PB．

（3）解：如圖，過C作CD⊥x軸于D，交拋物線于點(diǎn)K；
由于BC是定值，若△CKB的周長最小，那么 CK+KB 的值需最小．
由（2）知：KD=KB，則CD=CK+KD=CK+KB；
在拋物線上取K點(diǎn)外的任一點(diǎn)P，則：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP
因此K點(diǎn)即為所求．
已知C（-2，4），將x=-2代入y=

1

8

x²+2中，得：y=

5

2

，即 K（-2，

5

2

）．
△CKB的最小周長：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．

點(diǎn)評：該二次函數(shù)綜合題主要考查了：函數(shù)解析式的確定、直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式等知識，難度適中．準(zhǔn)確找出K點(diǎn)位置是解答（3）的關(guān)鍵．