Question

如圖，對稱軸為的拋物線與軸相交于點(diǎn)、.

(1）求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連結(jié)AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線l.點(diǎn)P是l上一動點(diǎn).設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，當(dāng)0＜S≤18時(shí)，求的取值范圍；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使△OP為直角三角形且OP為直角邊.若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)B與O（0，0）關(guān)于x=3對稱,

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0）.

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入得：

36+12=0,

∴=.

∴拋物線解析式為.

當(dāng)=3時(shí)，,

∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3）.

（說明：可用對稱軸為,求值,用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)A坐標(biāo).）

（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.

∵A(3,3),B(6,0),

∴   解得,   ∴.

∵直線∥AB且過點(diǎn)O,

∴直線解析式為.

∵點(diǎn)是上一動點(diǎn)且橫坐標(biāo)為,

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

當(dāng)在第四象限時(shí)（t＞0），

=12×6×3+×6×

=9+3.

∵0＜S≤18,

∴0＜9+3≤18,

∴-3＜≤3.

又＞0,

∴0＜≤3.5分

當(dāng)在第二象限時(shí)（＜0）,

作PM⊥軸于M，設(shè)對稱軸與軸交點(diǎn)為N. 則

=-3+9.

∵0＜S≤18,

∴0＜-3+9≤18,

∴-3≤＜3.

又＜0,

∴-3≤＜0.6分

∴t的取值范圍是-3≤＜0或0＜≤3.

(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.