Question

已知：O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P（m，n）（m＞0）是函數(shù)y=

k

x

（k＞0）上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點(diǎn)A（a，0）（a＞m）．設(shè)△OPA的面積為s，且s=1+

n4

4

．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）設(shè)n是小于20的整數(shù)，且k≠

n4

2

，求OP²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式得到s=

1

2

a•n．而s=1+

n4

4

，把n=1代入就可以得到a的值．
（2）易證△OPA是等腰直角三角形，得到m=n=

a

2

，根據(jù)三角形的面積S=

1

2

•an，就可以解得k的值．
（3）易證△OPQ∽△OAP，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，就可以得到關(guān)于k，n的方程，從而求出k，n的值．得到OP的值．

解答：解：過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，則PQ=n，OQ=m，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，s=

5

4

，（1分）
∴a=

2s

n

=

5

2

．（3分）

（2）解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n=

a

2

．（5分）
∴1+

n4

4

=

1

2

•an．
即n⁴-4n²+4=0，（6分）
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．（7分）
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n．（5分）
設(shè)△OPQ的面積為s₁
則：s₁=

s

2

∴

1

2

•mn=

1

2

（1+

n4

4

），
即：n⁴-4n²+4=0，（6分）
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．（7分）

（3）解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
設(shè)：△OPQ的面積為s₁，則

s1

s

=

PO2

AO2

（8分）
即：

1 2 k

1+ n4 4

=

n2+ k2 n2

4(1+ n4 4 )2 n2

化簡得：
2n⁴+2k²-kn⁴-4k=0（9分）
（k-2）（2k-n⁴）=0，
∴k=2或k=

n4

2

（舍去），（10分）
∴當(dāng)n是小于20的整數(shù)時(shí)，k=2．
∵OP²=n²+m²=n²+

k2

n2

又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整數(shù)．
當(dāng)n=1時(shí)，OP²=5，
當(dāng)n=2時(shí)，OP²=5，
當(dāng)n=3時(shí)，OP²=3²+

4

32

=9+

4

9

=

85

9

，（11分）
當(dāng)n是大于3且小于20的整數(shù)時(shí)，
即當(dāng)n=4、5、6…19時(shí)，OP²的值分別是：
4²+

4

42

、5²+

4

52

、6²+

4

62

…19²+

4

192

，
∵19²+

4

192

＞18²+

4

182

＞3²+

4

32

＞5，（12分）
∴OP²的最小值是5．（13分）

點(diǎn)評：本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的題目，題目的難度較大．