Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1），該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿與y軸平行的方向向上運(yùn)動(dòng)，連接OM，BM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，∠OMB=90°？

（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；（2）﹣；（3）P（， ）．

【解析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）設(shè)出點(diǎn)M，用勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出MD，最后求出時(shí)間t；

（3）由∠PBF被BA平分，確定出過(guò)點(diǎn)B的直線BN的解析式，求出此直線和拋物線的交點(diǎn)即可．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2；

（2）如圖1，

由（1）知y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；

∵D為拋物線的頂點(diǎn)，

∴D（2， ），

∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng)，

∴設(shè)M（2，m），（m＞），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=OB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m=或m=﹣（舍），

∴M（0， ），

∴MD=﹣，

∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng)，

∴t=﹣；

（3）存在點(diǎn)P，使∠PBF被BA平分，

如圖2，

∴∠PBO=∠EBO，

∵E（0，﹣1），

∴在y軸上取一點(diǎn)N（0，1），

∵B（3，0），

∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①，

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上，

聯(lián)立①②得，

解得或（舍去），

∴P（， ）．

“點(diǎn)睛”本題看考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的面積角平分線等知識(shí)，解題時(shí)根據(jù)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型.