Question

（2010•河南）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)，設(shè)PB的長為x．
（1）當(dāng)x的值為______時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；
（2）當(dāng)x的值為______時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
（3）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動的過程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，容易得到AM=DN，AD=MN，而CD=，∠C=45°，由此可以求出AM=DN，又因?yàn)锳D=5，容易求出BM、CN，若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DEB=90°，那么P與M重合或E與N重合，即可求出此時的x的值；
（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當(dāng)P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（3）以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形．由（2）知，當(dāng)BP=11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計(jì)算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．
解答：解：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
則四邊形AMND是矩形，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4×=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DEB=90°，
當(dāng)∠APC=90°時，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當(dāng)∠DPB=90°時，P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當(dāng)x的值為3或8時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；

（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，
有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)x的值為1或11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知，①當(dāng)BP=1時，此時CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE===2≠AD，故不能構(gòu)成菱形．
②當(dāng)BP′=11時，以點(diǎn)P′、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
∴EP′=AD=5，
過D作DN⊥BC于N，
∵CD=，∠C=45°，
則DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-12+4=3．
∴DP′===5，
∴EP′=DP′，
故此時?P′DAE是菱形．
即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形；

點(diǎn)評：本題是一個開放性試題，利用梯形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識來解決問題，要求學(xué)生對于這些知識比較熟練，綜合性很強(qiáng)．