Question

已知如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點(diǎn)O，
（1）求：∠AOC的度數(shù)；
（2）求證：AC=AE+CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；
（2）在AC上截取AF=AE，利用“邊角邊”證明△AOE和△AOF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOF=∠AOE，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOE=60°，再求出∠COF=60°，然后求出∠COD=∠COF，然后利用“角邊角”證明△COD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=CD，再根據(jù)AC=AF+CF整理即可得證．

解答：（1）解：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE是△ABC的角平分線，
∴∠OAC+∠OCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
在△AOC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-60°=120°；

（2）證明：如圖，在AC上截取AF=AE，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠OAE=∠OAF，
在△AOE和△AOF中，

AE=AF ∠OAE=∠OAF AO=AO

，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOF=∠AOE，
∵∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∴∠AOF=60°，
∵∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，
∠COD=∠AOE=60°，
∴∠COD=∠COF，
∵CE是△ABC的平分線，
∴∠OCD=∠OCF，
在△COD和△COF中，

∠COD=∠COF CO=CO ∠OCD=∠OCF

，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AE+CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，（1）整體思想的利用是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線并根據(jù)角的度數(shù)是60°得到相等的角是解題的關(guān)鍵．