Question

如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB、AC于點D、E，過E作BC的垂線交BC于點F，交⊙O于M，P是弧BC中點，連接PC交EM于點G，若AB=13，AE=5，tan∠BGF=4．求：（1）EM的長；（2）AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接BE、BP，構(gòu)造直角三角形，利用射影定理求出BC、CF，BF、CE的長，進(jìn)而求出EF的長，得到EM的長；
（2）利用割線定理AD•AB=AE•AC，可求得AD的長．

解答：解：（1）連接BE、BP，BM，
則∠BEC=90°，∠P=90°，
∵P為弧BC中點，
∴∠BCP=∠CBP=45°，
∵EM⊥BC與F，
∴∠EFC=90°，
于是△CFG為等腰直角三角形，GF=FC，
又∵tan∠BGF=4，
設(shè)BF=4x，則FG=x，于是FC=x，
根據(jù)射影定理，BE²=BF•BC=4x•5x，
即12²=20x²，x²=

36

5

，x=

6 5

5

．
根據(jù)相交弦定理，EF²=BF•CF，得EF²=4x•x，
EF²=4x²=4×

36

5

=

144

5

，EF=

12 5

5

；
EM=2×

12 5

5

=

24 5

5

．

（2）在Rt△BEC中，根據(jù)射影定理，EC²=BC•CF=5x•x=5×

36

5

=36，解得EC=6或EC=-6（負(fù)值舍去）．
根據(jù)割線定理AD•AB=AE•AC，
得13AD=5×（5+6），
解得AD=

55

13

．

點評：此題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)、相交弦定理、射影定理等知識，難度較大．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用其性質(zhì)解答．