Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交BC、CD于點E、F．
（1）求證：△ACF∽△ABE；
（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的長度．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形兩銳角互余和CD是斜邊上的高可以得到∠ACD=∠B，再根據AE是∠BAC的平分線可以得到∠CAE=∠EAB，利用兩角對應相等，兩三角形相似即可證明；
（2）根據相似三角形對應邊成比例可得

AC

AB

=

AF

AE

，代入數據計算即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，
∴∠ACD=90°-∠DCB，∠B=90°-∠DCB，
∴∠ACD=∠B，（2分）
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，（3分）
∴△ACF∽△ABE；（7分）

（2）解：∵△ACF∽△ABE，
∴

AC

AB

=

AF

AE

，（9分）
∴AE=

AB•AF

AC

=

10×3

6

=5cm．（10分）

點評：解答本題需要熟練掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的對應邊成比例．