Question

如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)CB的中點(diǎn)D，直線FE過(guò)點(diǎn)D，且FE⊥AC于E，F(xiàn)B切⊙O于B，P是線段DF上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PN⊥AB于N，PN與⊙O交于點(diǎn)Q，與DB交于點(diǎn)M．
（1）求證：FE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，AB=2，設(shè)DP=x，MN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）中，當(dāng)x為何值時(shí)，PQ：PN=1：5．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證OD⊥EF即可．
（2）由已知可得出三角形PDM是等邊三角形，因此DP=DM=x，根據(jù)AB的值，可在直角三角形ADB中，求出BD的長(zhǎng)；在直角三角形MNB中，可用NM表示出BM的長(zhǎng)，由此可根據(jù)BD=BM+DM求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）本題可先設(shè)出PQ，PN的長(zhǎng)，然后表示出PQ，PN，QN的長(zhǎng)；根據(jù)切割線定理求出PD的表達(dá)式，即可求出PM，MN的表達(dá)式；然后將PM，MN的表達(dá)式代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求出PM，PD即x的值．

解答：（1）證明：連接OD，AD，則AD⊥BC；
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴AC=AB，
∴∠C=∠OBD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠C=30°，
∴∠CDE=60°，∠NMB=90°-∠B=60°，
∴∠PDM=∠PMD=60°．
∴△PDM是等邊三角形．
∴PD=PM=DM=x．
∵∠OBD=30°，AB=2，
∴BD=

3

．
∵∠OBD=30°，
∴BM=2y．
∴BD=BM+MD=2y+x=

3

．
∴y=-

1

2

x+

3

2

（0＜x≤

3

）．

（3）解：∵PQ：PN=1：5，
設(shè)PQ=a，則QN=4a，PN=5a
∵PD²=PQ•（PQ+2QM）=a•（a+8a），
∴PD=PM=3a，MN=PN-PM=2a，
根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式可得：2a=-

1

2

×3a+

3

2

，解得a=

3

7

．
∴x=3a=

3 3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定，相似三角形的判定的運(yùn)用．