【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是

(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2

【答案】(1),(2),(3),(5).

【解析】

試題分析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,

∴∠BOF+∠COF=90°,

∵∠EOF=90°,

∴∠BOF+∠COE=90°,

∴∠BOE=∠COF,

在△BOE和△COF中,

∴△BOE≌△COF(ASA),

∴OE=OF,BE=CF,

∴EF=OE;故正確;

(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,

∴S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正確;

(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故正確;

(4)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC,

∵BC=1,

∴OH=BC=

設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1﹣x)+(1﹣x)×=﹣(x﹣2+,

∵a=﹣<0,

∴當(dāng)x=時(shí),S△BEF+S△COF最大;

即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故錯(cuò)誤;

(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,

∴△OEG∽△OBE,

∴OE:OB=OG:OE,

∴OGOB=OE2,

∵OB=BD,OE=EF,

∴OGBD=EF2

∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,

∴EF2=AE2+CF2,

∴OGBD=AE2+CF2.故正確.

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社團(tuán)名稱

籃球

足球

唱歌

器樂(lè)

人數(shù)(人)

11

x

9

8

A. 籃球B. 足球C. 唱歌D. 器樂(lè)

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(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);

(2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí),求a的值及拋物線y2的解析式;

(3)在(2)的條件下,連接DC,線段DC上的動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸,將矩形ABDE沿直線l折疊,設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.

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