Question

如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點E、F．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．
（2）若AB⊥AC，AB=1，BC=時，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？不能，說明理由；能，也說明理由，并求出此時AC繞O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）AF=EC；
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，∠ECO=∠FAO；
又∵∠AOF=∠EOC，
∴△AOF≌△EOC，故AF=EC．

（2）四邊形BEDF可能是菱形．
理由：∵△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
又∵OB=OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴只要有EF⊥BD，就能使平行四邊形BEDF是菱形．
∵AB⊥AC，AB=1，BC=，
∴AC==2，
又∵OA=OC，
∴AO=1，
∵AB⊥AC，AB=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴AC繞O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°．
分析：（1）已知該圖形為平行四邊形，故易證得△AOF≌△COE，后可得出AF=EC．
（2）根據(jù)（1）可知△AOF≌△COE，然后可得出OE=OF．根據(jù)題意可得出四邊形BEDF是菱形．根據(jù)勾股定理可求出AC的值，之后可得出△AOB是等腰直角三角形，然后可知道AC繞O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°，從而得出結(jié)論．
點評：本題的難度中上，主要考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及全等三角形的相關知識，綜合性強．