Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）若拋物線與x軸有兩個交點，與y軸交于點（0，-4），求出這條拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）試說明對任何實數(shù)m，拋物線的頂點都在某一次函數(shù)的圖象L上，并求出L的解析式；
（3）若（2）中直線L交x軸于點A，試在y軸求一點M，使|MC-MA|的值最大（C為（1）中拋物線的頂點）；
（4）若（1）中所求拋物線的對稱軸與x軸交于點B．那么在該對稱軸上是否存在點P，使⊙P與直線L和x軸同時相切．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（0，-4）代入二次函數(shù)解析式即可得出m的值，再利用二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)判斷方法得出m的取值范圍，即可得出答案；
（2）由y=-（x-m）²-m+2 知頂點為（m，-m+2），分別取m=0，2得點（0，2）和（2，0）求出過這兩點的直線解析式，利用當x=m時，y=-m+2，得出對任何實數(shù)m，拋物線的頂點都在一次函數(shù)的圖象L上；
（3）根據(jù)A關于y軸對稱的點D（-2，0），利用C為（1）中拋物線的頂點，求出直線CD的解析式，進而得出|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|，得出M點坐標；
（4）利用切線的性質(zhì)以及勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點（0，-4），
∴將（0，-4）代入二次函數(shù)解析式得：
-m²-m+2=-4，
∴m²+m-6=0，
解得：m₁=2，m₂=-3，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=（2m）²-4（m²+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
∴拋物線的解析式為：
y=-x²-6x-4，
=-（x²+6x）-4，
=-（x+3） ²+5，
∴頂點（-3，5）；

（2）由y=-（x-m）²-m+2 知頂點為（m，-m+2）．
分別取m=0，2得點（0，2）和（2，0）過這兩點的直線解析式為：設為y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線解析式為：y=-x+2，
當x=m時，y=-m+2，
∴對任何實數(shù)m，拋物線的頂點都在某一次函數(shù)的圖象L上，
L的解析式為：y=-x+2；

（3）A關于y軸對稱的點D（-2，0），
∵C為（1）中拋物線的頂點，
∴設直線CD的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線CD的解析式為：y=-5x-10，
∴圖象與y軸的交點（0，-10）即為所求的點M．
設N是y軸上異于M的一點，則△NDC中，
|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|．
∴M（0，-10）時，|MC-MA|的值最大；

（4）∵C點坐標為：（-3，5），A點坐標為：（2，0），B點坐標為：（-3，0），
∴AB=BC=5，∵∠CBA=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵當⊙P₁與直線L相切與點Q₁，連接Q₁P₁，
∴Q₁P₁⊥AC，
∴∠P₁CQ₁=∠CP₁Q₁=45°，
∴CQ₁=Q₁P₁，
設P₁的坐標為：（-3，y），
∴CP₁=5-y，
P₁Q₁=CQ₁=y，
∵=+，
∴（5-y）²=y²+y²，
整理得出；y²+10y-25=0，
解得：y₁=5-5，y₂=-5-5，
∴滿足條件的點有兩個，即（-3，5-5）和（-3，-5-5）（如圖）．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的綜合應用和切線的性質(zhì)定理等知識，利用數(shù)形結合得出∠P₁CQ₁=∠CP₁Q₁=45°，以及CQ₁=Q₁P₁是解決問題的關鍵．