Question

（1）“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題，但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”．但對于特定度數(shù)的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺規(guī)進(jìn)行三等分的．如圖a，∠AOB=90°，我們在邊OB上取一點C，用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三等分．仔細(xì)體會一下其中的道理，然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需寫作法，但需保留作圖痕跡，允許適當(dāng)添加文字的說明）

（2）數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=

1

x

的圖象交于點P，以P為圓心、2OP長為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=

1

3

∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：
①設(shè)P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

），求直線OM對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（用含a、b的代數(shù)式表示）．
②分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=

1

3

∠AOB．

Answer 1

分析：（1）邊ON上取一點A，用尺規(guī)以O(shè)A為一邊向∠MON的外部作等邊△OAB，用尺規(guī)作出∠AOB的角平分線OC，再用尺規(guī)作出∠CON的角平分線OD，則射線OD、OC將∠MON三等分．
（2）①直線OM是正比例函數(shù)，可利用所給的坐標(biāo)得到M的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可；
②根據(jù)所給的點的坐標(biāo)得到Q的坐標(biāo)，看是否符合（1）中的函數(shù)解析式；運用矩形的性質(zhì)，作圖過程中的條件，外角與不相鄰內(nèi)角的關(guān)系，即可求證．

解答：解：（1）
我們在邊ON上取一點A，用尺規(guī)以O(shè)A為一邊向∠MON的外部作等邊△OAB，用尺規(guī)作出∠AOB的角平分線OC，再用尺規(guī)作出∠CON的角平分線OD，則射線OD、OC將∠MON三等分．
（2）①設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

）．（1分）
則M（b，

1

a

），
∴k=

1

a

÷b=

1

ab

．（2分）
∴直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

ab

x．（3分）
②∵Q的坐標(biāo)（a，

1

b

）、滿足y=

1

ab

x，
∴點Q在直線OM上．
∵四邊形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=

1

2

PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=

1

2

PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一個外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠SOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠SOB．（9分）
∴∠SOB=

1

3

∠AOB．（10分）

點評：本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，過某個點，這個點的坐標(biāo)應(yīng)適合這個函數(shù)解析式．注意使用作圖過程中利用的條件．