Question

已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如圖1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，AD∥BC，則∠ABC=______；
（2）如圖2，以A為頂點AB為邊在△ABC外作∠BAM=60°，若∠ABC=30°，△ACD是等邊三角形，AB=3，BC=4．求BD的長．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC．
∵∠DAC=2∠ABC，
∴2∠ABC+2∠ABC=180°，
∴∠ABC=45°

（2）如圖2，在AM上截取AE=AB，連接BE和CE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAM=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAM+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
在△EAC和△BAD中
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等邊三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
故答案為：45°．
分析：（1）先由AD∥BC可以得出∠DAB+∠ABC=180°，由AC=BC可以得出∠ABC=∠BAC，就可以求得結論；
（2）如圖2，在AM上截取AE=AB，連接BE和CE．可以得出△EAC≌△BAD，就有CE=BD，在△EBC中由勾股定理就可以求出CE即可求出結論．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解答時根據(jù)三角形全等轉(zhuǎn)化線段求線段的長是難點．