Question

已知拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)（-2，4），與y軸的交點(diǎn)為B（0，1）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)C．是∠BAC=90°？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）P、Q為拋物線上的兩點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為4和6，在x軸、y軸上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N．當(dāng)PM+MN+NQ最小時(shí)，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過(guò)（-2，4）和（0，1）兩點(diǎn)．
∴解得
∴拋物線的解析式為：y=x²-x+1
y=（x-2）²
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（2，0）；

（2）假設(shè)存在C使∠BAC=90°，設(shè)C（t，-t+1），
如圖1，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥x軸于D，則D（t，0），
∴CD=-t+1，AD=t-2，
∵∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
∴△BAO∽△ACD，
∴，即，
解得t=2或t=10，
∴C（10，16）；

（3）∵點(diǎn)P點(diǎn)Q在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別為4和6，
∴P（4，1），Q（6，4），
∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（4，-1），
點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（-6，4），
∵PM=P′M，QN=Q′N，
∴當(dāng)P′、M、N、Q′四點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN+NQ的值最小，
∵P′Q′的解析式為y=-x+1，
∴此時(shí)M（2，0），N（0，1）．
分析：（1）將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出系數(shù)b、c的值就可以求出其解析式，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)C，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形相似求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，就可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）這是一個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題，根據(jù)P、Q的橫坐標(biāo)可以求出P、Q的坐標(biāo)，分別作P、Q關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，求出P′Q′的解析式，求出該解析式與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就是M點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法就函數(shù)的解析式，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最小值，相似三角形的判定及性質(zhì)．