Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取點(diǎn)E，使得DE=DB，連接CE并延長(zhǎng)，交邊AB于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求證：AB=CE；
（2）求證：BF+EF=

2

FD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)三角形高線的定義求出∠ADB=∠CDE=90°，并判斷出△ACD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE；
（2）在EC上截取EG=BF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B=∠CED，然后利用“邊角邊”證明△BDF和△EDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=DG，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BDF=∠EDG，再求出∠FDG=90°，判斷出△DFG是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．

解答：證明：（1）∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，

AD=CD ∠ADB=∠CDE DE=DB

，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴AB=CE；

（2）如圖，在EC上截取EG=BF，
∵△ABD≌△CED，
∴∠B=∠CED，
在△BDF和△EDG中，

EG=BF ∠B=∠CED DE=DB

，
∴△BDF≌△EDG（SAS），
∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，
∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴BF+EF=EG+EF=FG=

2

FD，
故BF+EF=

2

FD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造成全等三角形和等腰直角三角形．