Question

已知△ABC中，AC=3，BC=4，AB的長(zhǎng)是方程x²-4x-5=0的一個(gè)根，則△ABC的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑分別是（ ）
A．1和2.5
B．2和5
C．2和2.5
D．3和5

Answer 1

【答案】分析：解方程求出AB，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C=90°，連接OD、OE，證出AF=AD，BF=BE，CE=CD，正方形ODCE，推出DO=DC=CE=OE，設(shè)OD=DC=CE=OE=r，得到方程3-r+4-r=5，求出r即可；根據(jù)R=AB即可求出外接圓半徑．
解答：解：解方程x²-4x-5=0得：x₁=-1，x₂=5，
∴AB=5，
∵3²+4²=25，5²=25，
∴AC+BC²=AB²，
∴∠C=90°，

連接OD、OE，
∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，
∵OD=OE，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴DO=DC=CE=OE，
設(shè)OD=DC=CE=OE=r，
則3-r+4-r=5，
∴r=1，
Rt△ABC的外接圓的半徑是×5=2.5．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)和判定，三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長(zhǎng)定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．