Question

如圖，已知：直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P，使ΔABO與ΔADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）（-1，4）或（1，2）；（3）不存在

解析試題分析：（1）先求得直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；
（2）由題意可得△ABO為等腰三角形，再分△ABO∽△AP₁D，△ABO∽△ADP₂ 兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，則，分①當(dāng)P₁(-1,4)時(shí)，②當(dāng)P₂（1，2）時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式及函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求解即可.
（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）
∴拋物線的解析式為；
（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形
若△ABO∽△AP₁D，則
∴DP₁=AD=4  ,         
∴P₁（-1，4）  
若△ABO∽△ADP₂ ，過點(diǎn)P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4

∵△ABO為等腰三角形
∴△ADP₂是等腰三角形，由三線合一可得：DM="AM=2=" P₂M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合
∴P₂（1，2）；
（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，則
①當(dāng)P₁(-1,4)時(shí)，
S_{四邊形AP1CE}=S_{三角形ACP1}+S_三角形ACE =  
∴
∴
∵點(diǎn)E在x軸下方 
∴
代入得，即
∵△=(-4)²-4×7=-12<0 
∴此方程無解；
②當(dāng)P₂（1，2）時(shí)，S_{四邊形AP2CE}=S_{三角形ACP2}+S_三角形ACE =
∴   
∴
∵點(diǎn)E在x軸下方 
∴ 
代入得：
即，
∵△=(-4)²-4×5=-4<0
∴此方程無解  
綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E.
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．