Question

12．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE，求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的速度為每秒1cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①問(wèn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得：AE=EC，AF=FC，再證明△AOE≌△COF，得AE=FC，則四邊形AFCE的四邊相等，則四邊形AFCE為菱形；利用勾股定理列方程求AF的長(zhǎng)；
（2）①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，先求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即為點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度；
②分三種情況討論：以點(diǎn)P分別在AF、BF、AB上分析討論，發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)P在BF上時(shí)，點(diǎn)Q在DE上時(shí)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是平行四邊形，如圖3，以AQ=PC為等量關(guān)系列方程解出．

解答 解：（1）如圖1，∵EF是AC的垂直平分線，
∴AE=EC，AF=FC，
∵AO=OC，∠EAC=∠BCA，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴AE=CF=EC=AF，
∴四邊形AFCE為菱形，
設(shè)AF=x，則FC=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，x²=4²+（8-x）²，
x=5，
則AF=5；
（2）①在在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形，
只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是：（5+3）÷1=8
Q的速度是：4÷8=0.5
即當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，運(yùn)用的時(shí)間為8s，此時(shí)Q的速度是0.5cm/s；
②分為三種情況：i）P在AF上，0≤t≤5，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1cm，點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，
∴Q只能在CD上，此時(shí)以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不可能是平行四邊形；
ii）當(dāng)P在BF上時(shí)，5＜t≤8，Q在DE上，A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是平行四邊形；
如圖3，
∵AQ=8-（0.8t-4），CP=PF+FC=PF+AF=t，
∴8-（0.8t-4）=t，
t=$\frac{20}{3}$；
iii）當(dāng)P在AB上時(shí)，8＜t≤12，Q在DE或CE上，此時(shí)以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形，
綜上所述：當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的平行四邊形、菱形的性質(zhì)、行程問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)；解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)P和Q的行程問(wèn)題，弄清兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間、速度和路程；理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過(guò)程；采用了分類討論的思想．